GEOMETRI NETRAL

TUGAS RESUME MATAKULIAH GEOMETRI

Disusun oleh :

DEVI EMILYA (20082012024)

RETNI PARADESA (20082012037)

Dosen Pengampuh :

Dr. YUSUF HARTONO, M. Sc

Dra. TRIMURTI SALEH, M. A

Dra. NYIMAS AISYAH, M. Pd

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA PALEMBANG

2009

GEOMETRI NETRAL

Kegagalan usaha dalam membuktikan postulat kesejajaran Euclid memberi pertanda bahwa perkembangan teori geometrik yang kontradiksi dengan postulat sejajar. Dalam bab ini, kita akan mempelajari akibat dari postulat Euclid selain dari postulat sejajar. Tujuannya adalah membantu mengklarifikasi peran postulat sejajar dalam geometri non Euclid dalam bab berikutnya, dan menghasilkan teorema valid untuk geometri non Euclid. Kekayaan hasil yang diperoleh (banyak timbul pada latihan-latihan di akhir bab ini) merupakan pandangan awal yang cukup menakjubkan.

A. Pendahuluan

Mari kita pertimbangkan akan seperti apa teori geometri jika postulat sejajar “kontroversial”dihilangkan. Dapatkah teori penting lainnya dibuktikan? Akankah keterangan dalam permasalahan postulat sejajar Euclid dihilangkan?

Kita sebut teori ini geometri netral untuk menunjukkan bahwa kita mengasumsikan bahwa sebarang postulat sejajar manapun sebagai teori geometri netral yakni teori yang dapat dideduksi dari postulat Euclid tanpa menggunakan postulat sejajar. Dalam pembelajaran geometri netral, kita menempuh lintasan Saccheri, tetapi tidak menggunakan postulat Saccheri yang ditentukan sebelumnya yakni bahwa postulat sejajar Euclid harus divalidasi. Agaknya, kita eksplorasi kemungkinan yang melekat pada postulat lainnya dan dapat memperdalam pengetahuan geometri kita. Kita mulai studi geometri netral dengan observasi seperti yang kita pahami dari beberapa teoremanya. Dalam bab 2, subbab 1, akibat (1)-(7) dari postulat Euclid, dan juga teorema 1, 2, 3 dan corollarynya, telah dibuktikan sebelum pengenalan postulat sejajar dan begitu juga proposisi geometri netral. Maksudnya yang terlibat disana temasuk dalam pengukuran segmen sudut, misalnya ide tentang sudut siku-siku dan pengukuran derajat sudut, juga merupakan geometri netral. Kita munculkan hasil ini dalam argumen kita (tanpa referensi) dan akan diteruskan dalam Bab 2, yang menjelaskan kesimpulan dengan diagram bila diperlukan. Perlakuan kita hanya dibatasi pada geometri bidang.

B. Jumlah Sudut Segitiga

Untuk membuktikan teorema yang penting yang berhubungan dengan jumlah sudut segitiga, diperkenalkan lemma berikut ini:

Lemma

Diketahui ABC dan A. Maka terdapat suatu segitiga, A₁B₁C₁, sedemikian sehingga A₁B₁C₁ memiliki jumlah sudut yang sama besar sebagai ABC dan .

Bukti:

1. Buat ABC

2. Bagi BC menjadi 2 bagian yang sama

3. Tarik garis AE

4. Ukur AE , ukur keperpanjangan AE sebut F

5. Tarik garis BF

6. Tarik garis CF

Gambar 1

Perhatikan ABE dan FCE Perhatikan AFC merupakan A₁B₁C₁

E₁ = E₂ bertolak belakang 3 = 3^’ (berseberangan)

AE = EF 4 = 4^’ (berseberangan)

BE = EC A + B + C = 3 + 4 + 7 + 8

ABE FCE (SAS) = 3 + 4^’ + 7^’ + 8

= CAF + AFC + ACF

Bukti :

Misalkan E merupakan titik tengah dari ,

dan misalkan F dipilih pada AE sedemikian sehingga

dan E berada diantara A dan F. Maka BEA CEF dan sudutnya sama besar

Kita tunjukkan bahwa AFC merupakan A₁B₁C₁ yang dicari.

Dengan melabelkan sudut seperti dalam diagram, maka 2 = 2’ = 3 = 3’

Dan

A + B + C = 1 + 2 + 3 + 4

= 1 + 2’ + 3’ + 4

= CAF + AFC + FCA

Ada ABC

A = 3 + 4 à A = 3^’ + 4^’

3

Pada AFC

C = 8 + 7^’

Untuk melengkapkan bukti, perhatikan bahwa A = 1 + 2 yang secara tak langsung menyatakan

A = 1 + 2’

Dalam persamaan ini, salah satu suku pada sisi ruas kanan 1 atau 2’, haruslah kurang dari atau sama dengan suku pada satu ruas kiri A.

Jika A , label kembali sebagai A₁, jika tidak, label kembali F sebagai A₁, maka Label ulang dua titik sudut lainnya pada AFC sebagai B₁ dan C₁ dan Lemma terbukti.

Lemma menyatakan bahwa kita dapat menggantikan segitiga dengan segitiga “yang lebih kecil” tanpa mengubah jumlah sudutnya. Hal ini dibuktikan dengan memotong ABE dari ABC dan melewati ABE ke belakang sebagai FCE.

Lemma ini tampak agak trivial pada awalnya, karena dalam geometri netral, kita tidak dapat mengasumsikan bahwa jumlah sudut selalu konstan untuk semua segitiga. Asumsi tadi merupakan teorema Euclid yang buktinya bergantung pada postulat sejajar. Lemma tersebut cukup penting karena mengindikasikan bahwa segitiga yang tidak kongruen yang memiliki jumlah sudut yang sama. Secara tidak langsung, lemma menyatakan bahwa dengan menggunakan argument yang sederhana, bahwa eksistensi barisan segitiga yang tak kongruen yang tak hinggga, semuanya memiliki jumlah sudut yang sama seperti segitiga yang diketahui.

Sekarang kita buktikan teorema yang merupakan akibat dari hasil Saccheri (Bab 2, subbab 7) atas kesalahan hipotesis mengenai sudut tumpul. Bukti ini ditunjukkan oleh A. M Legendre (1972-1833).

Teorema 1 (Saccheri-Legendre). Jumlah sudut sebarang segitiga adalah kurang dari atau sama dengan 180^o.

Bukti

Anggaplah kebalikannya (kontradiksi).

Maka ada segitiga, ABC dengan jumlah sudut 180^o + p^o, dengan p adalah bilangan positif.

Sekarang, dengan menggunakan lemma sebelumnya, ada segitiga “yang lebih kecil”, A₁B₁C₁ dengan jumlah sudut yang sama., sebagai ABC, 180^o + p^o, sedemikian sehingga

A₁

Dengan menggunakan lemma tersebut pada A₁B₁C₁, kita lihat bahwa ada suatu segitiga A₂B₂C₂, dengan jumlah sudut yang sama, 180^o + p^o, sedemikian sehingga

A_{2 1}

Dengan melanjutkan bentuk ini, kita dapat membentuk barisan segitiga

A₁B₁C₁, A₂B₂C₂, A₃B₃C₃,

dengan setiap segitiga memiliki jumlah sudut 180^o + p^o, sedemikian sehingga untuk setiap bilangan bulat positif n,

A₁

Jelasnya, kita dapat memilih n cukup besar sehingga A_n bisa sekecil mungkin, secara khusus sehingga

Karena A_n + B_n + C_n = 180^o + p, maka

B_n + C_n 180^o

Hal ini kontradiksi dengan teorema 3 bab 2. Pengandaian kita salah, dan teorema dinyatakan berlaku benar.

Sebagai contoh khusus teorema ini, anggaplah p = 1 dan A = 25^o. Dalam segitiga asal kita, ABC, maka A + B + C = 181^o dan A = 25^o. Dengan menggunakan lemma, ada suatu segitiga A₁B₁C₁, sedemikian sehingga A₁ + B₁ + C₁ = 181^o dan . Untuk melihat kontradiksinya, gunakan lemma tersebut lebih dari tiga kali untuk memperoleh A₅B₅C₅ dengan A₅ + B₅ + C₅ = 181^o dan . Akibatnya B₅ + C₅ > 180^o yang tidak mungkin berlaku.

Corollary. Jumlah sudut sebarang segiempat akan kurang dari atau sama dengan 360^o.

Corollary secara tidak langsung menyatakan kesimpulan Saccheri bahwa hipotesis sudut tumpul bisa salah (bab 2, subbab 7). Secara serupa, teorema tersebut menyangkal bahwa jumlah sudut segitiga bisa lebih dari 180^o, tetapi kemungkinan bahwa jumlah sudut segitiga mungkin saja kurang dari 180^o, yang berhubungan dengan hipotesis Saccheri tentang sudut lancip, yang memaksa hipotesis tersebut agar memenuhi maksud kita.

Bukti:

Perhatikan AFC merupakan A₁B₁C₁

3 = 3’ (berseberangan)

4 = 4’ (bersebarangan)

A + B + C = 3 + 4 + 7 + 8

= 3 + 4’ + 7’ + 8

= CAF + AFC + ACF

Pada ABC

A = 3 + 4 A = 3’ + 4’

3 A pada AFC

C = 8 + 7’

8 C

Pada ABC

Andai A + B + C > 180^o + p

ABC = AFC Jumlah sudut > 180^o + p

A = 3 + 4

4 A

DAFTAR PUSTAKA

Prenowitz, Walter and Joerdan, Meyer. Basic Concepts of Geometri. Blaisdell Publishing Company. 1965.

Rawuh. Geometri. Universitas Terbuka. 1996.